Диа­го­наль­ное се­че­ние пред­став­ля­ет собой тре­уголь­ник SDB, для ко­то­ро­го: сле­до­ва­тель­но,

Тогда Сле­до­ва­тель­но,

Ответ: 24.

Пусть MK  =  x, SO  — вы­со­та. Тре­уголь­ни­ки SMO₁ и ASO по­доб­ны по двум углам, тогда

Имеем:

Тогда

Ответ: 54.

Пусть O  — точка пе­ре­се­че­ния диа­го­на­лей ос­но­ва­ния. Так как бо­ко­вые ребра об­ра­зу­ют с вы­со­той рав­ные углы, ос­но­ва­ни­ем вы­со­ты яв­ля­ет­ся центр опи­сан­ной во­круг ABCD окруж­но­сти, то есть точка O.

Объём пи­ра­ми­ды SABCD равен Пло­щадь пря­мо­уголь­ни­ка можно найти как по­лу­про­из­ве­де­ние диа­го­на­лей d на синус угла между ними Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка SOA най­дем по­ло­ви­ну диа­го­на­ли ос­но­ва­ния:

Пло­щадь равна Тогда объём пи­ра­ми­ды равен: По­это­му

Ответ: 147.

По­стро­им се­че­ние: со­еди­ним точки B и M, M и N. Про­ве­дем MN до пе­ре­се­че­ния с про­дол­же­ни­ем сто­ро­ны AD в точке R. Со­еди­ним точки B и R, пря­мая BR пе­ре­се­ка­ет CD в точке P, се­че­ние BMNP  — ис­ко­мое. Най­дем длину от­рез­ка BP.

По тео­ре­ме Ме­не­лая для тре­уголь­ни­ка ASD и пря­мой MR по­лу­ча­ем:

Тре­уголь­ни­ки PDR и BAR по­доб­ны с ко­эф­фи­ци­ен­том сле­до­ва­тель­но, По­сколь­ку по­лу­ча­ем, что Тогда

Ответ: 1.

Апо­фе­ма  — это вы­со­та бо­ко­вой грани пра­виль­ной пи­ра­ми­ды, про­ве­ден­ная к ос­но­ва­нию. Со­от­вет­ствен­но, среди ука­зан­ных от­рез­ков апо­фе­ма  — SB.

Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром 1.

Про­ведём пря­мую MK па­рал­лель­но ребру AS. Пусть P  — точка пе­ре­се­че­ния пря­мых MN и DC. Тогда точки K и P лежат в плос­ко­сти, про­хо­дя­щей через пря­мую MN па­рал­лель­но AS, и в плос­ко­сти ос­но­ва­ния ABCD. Тогда пря­мая KP  — пе­ре­се­че­ние плос­ко­стей MNK и ABCD. Точка E  — точка пе­ре­се­че­ния пря­мых KP и BC, сле­до­ва­тель­но, не­об­хо­ди­мо найти длину от­рез­ка KE.

Про­ведём пря­мую MF па­рал­лель­но ребру CS. По­сколь­ку точка M  — се­ре­ди­на SC, то точка F  — се­ре­ди­на CD. За­ме­тим, что MF  — сред­няя линия тре­уголь­ни­ка DSC, сле­до­ва­тель­но, MF  =  24. По усло­вию, СN : NS  =  1 : 3, тогда За­ме­тим, что CN  — сред­няя линия тре­уголь­ни­ка MFP, сле­до­ва­тель­но, C  — се­ре­ди­на от­рез­ка FP, тогда, по­сколь­ку FC  =  CP  =  24, DP  =  24 · 3  =  72.

Так как в ос­но­ва­нии пи­ра­ми­ды лежит квад­рат, угол KDP  — пря­мой. Тогда можем найти длину от­рез­ка KP по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

При­ме­ним тео­ре­му Фа­ле­са в тре­уголь­ни­ке KDP:

Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром 2.